基礎理論 - 1.基礎理論 - 2.応用数学 - 4.数式処理

Last Update : May 02 2018 13:35:57

     

a. 因数分解

因数分解とは、一つの整数あるいは整式(多項式)を、いくつかの整数あるいは整式の積の形に分解・変形すること。
自然数の30を2×3×5で書き直したり、x2+3x+2 は (x+1)(x+2) に書き直すことができる。
a×a×a のように、同じ文字を繰り返し掛けてできる式を a3 と書き、「a の3乗」と言います。また、

-3×a×b×b×c×c×c

のようにいくつかの文字や数を掛け合わせてできる式を -3ab2c3 と書き、数や文字を乗法だけで表現できる式を 単項式 といいます。 5 , xのように、1つの数や1つの文字だけのものも単項式といいます。 単項式において、数の部分を 係数 と呼び、掛け合わせる全ての文字の個数を 次数 と呼びます。
-4x2+6x-7のように、いくつかの単項式の和として表される式を、多項式 と呼びます。多項式の項のうち、x2+2x2y-5a2xy3+6by3 のように、文字の部分が同じであるものを 同類項 と言って、次のように1つにまとめることができる。

例1 x2+2x2y-5a2xy3+6by3=(1+2y)x2-(5a2x-6b)y3

また、多項式の同類項をまとめたとき、各項の次数の中で最大のものをその 多項式の次数 と言います。したがって、上の例の多項式の次数は 6 次となります(5a2xy3の a の 2 次 + x の 1 次 + y の 3 次を足して 6 次)。単項式と多項式をあわせて 整式 と呼び、次数が n の整式を n次式 と呼びます。

素因数分解
任意の自然数は、かならず複数の素数の掛け算として、表現できます。たとえば、18という数は2×3×3、42という数は、2×3×7、といった具合に、素数の積で表現されます。このように、自然数を素数のみの積にまで分解することを、素因数分解と言います。


b. 微分・積分

変化していく量を表現する巧みな方法として、関数で表現する方法があります。つまり、xが変化するとき、それにともなってyが変化していく関係「y=f(x)」を関数といいますね。この関係を、例えばy=2x+3とかy=x2-2x+3というように関係を式で表現したり、グラフを書くことによって視覚的に理解したりします。
関数をグラフで表現して、このグラフ上をxが変化するとき、「このグラフは瞬間的にどのように変化していると言えばよいか」を議論してみましょう。
考えていく手順は速度の場合と全く同じです。まず、グラフ上のある点A(x、y)において、そこから少し行った点Bをとり、線分ABの傾きをもって、近似的にグラフのAB間の変化であるとします。次にBをAに次第に(無限に)近づけていけば、線分ABの傾きは究極的に(極限として)、点Aでのグラフの変化の方向と見なせる訳です。
グラフ上の点xにおける瞬間のグラフの傾きを微分係数といいます。微分係数は、xが変化すれば刻々と変化します。従ってその微分係数もxの関数とみなせます。この関数を導関数といい、もとの関数の名前がfならばその導関数はf’で表します。元の関数からその導関数を求めることを「微分する」といいます。

関数が分かれば導関数は導出できるし、導関数が分かれば元の関数が想像できます。関数とその導関数の関係はちょうど親子関係のようであり、「この親にしてこの子あり」とか「親の顔が見たい」といった状況は、関数の世界でも常に起こります。 さてその「親の顔が見たい」という欲求は、関数においては導関数からその元になっている関数を想像しようという欲求に対応します。 導関数から元の関数を求める操作を「積分する」といいます。ですから、「微分する」という操作と「積分する」という操作は、ちょうど逆の操作ということになります。




     

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