正確な解を求めることができない数学上の問題を近似的に解く方法のこと
二分法( Bisection method )の原理
二分法は方程式 f(x) = 0 の解を求める方法である。手順
としては以下のようになる。
これが二分法の考え方である。図で描くと以下の図の 図 1 → 図 2 → 図 3 → 図 4 のような感じになる。
二分法は、計算は遅いが確実に根のある領域を狭めていって解を求めることができる方法である
補間とは、与えられた複数の点をすべて通る曲線において、ある x 値に対して その曲線上の y 値を求める計算のことです。
異なる複数の点を通る多項式を求め、離散的な(連続でない、とびとびの)データから値を推測する方法をラグランジュ補間法という。
ニュートン法は方程式 f(x) = 0 の解を求める方法である。手順 としては以下のようになる。
f'(xn)はf(xn)の導関数と呼ぶ。
[導関数の求め方]
式の指数部を前に持ってきて次数を1つ下げる
Ex. f(x) = x2の導関数は
f'(x) = 2x
Ex. f(x) = 2x3 + 4x2 + 5 の導関数は
f'(x) = 6x2 + 8x
ニュートン法で√2を解く
x = √2
両辺を2乗する。
x2 = 2
x2 - 2 = 0
f(x) = x2 - 2
このf(x)の導関数は
f'(x) = 2x
になる
ニュートン法の関係式について当てはめると次の様になる
xn+1 = xn - (f(xn) / f'(xn))ここでx1の値を適当に5と仮定してn=5まで計算をしてみる
x2 = 5 - (52 - 2 ) / (2×5) = 2.7√2の真の値は1.414...となるので、計算回数を増やすほど真の値へと近づいていくことが分かる
数値解析で求めた解はあくまで近似値なので、真の解である数値(真値)との間には誤差が発生する。
誤差 = 近似値 - 真の値
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